Пошаговая инструкция для нахождения числа членов последовательности

Эту инструкцию писал в комментариях к бесплатному курсу stepik Введение в математический анализ. Как я понял, инструкция оказалась полезной, т.к. продолжает собирать лайки и благодарности. Задача простая — из категории самых первых шажков в матанализе. Но часто спотыкание на таких задачах и приводит к забрасыванию всего курса. В частности, инструкцию написал, когда увидел такой комментарий к задаче: «Введение в математический анализ, первое задание и у меня сразу ступор. Мой внутренний начинающий математик забился в угол и заплакал :(«

ЗАДАЧА:

Найдите число членов последовательности $$x_n = {2n — 1\over 4n + 5}$$ , лежащих вне интервала $$({1\over 2} — {1\over 1000}, {1\over 2} + {1\over 1000})$$

 
 
ИНСТРУКЦИЯ ПО РЕШЕНИЮ:
Инструкция дается для обучающихся с учетом просмотра видео из курса, но подойдет и в том случае, если Вы почитали хоть что-то по теме

В данной задаче проверяется понимание прошлых пару видео и потому тут сразу всё дано, осталось подставить в неравенство. Мы видим интервал. Именно понимание, что является чем в этом интервале и даст правильную подстановку, а значит и решение. Попробую показать ход мыслей по шагам.

1)
Постоянная часть слева и справа интервала — это 1/2. Т.к. из нее вычитается и к ней прибавляется одинаковое число, то заключаем, что 1/2 — это исходная центральная часть интервала, т.е. L.
Тогда 1/1000 — это эпсилон (Э)

2)
Из предыдущих видео мы узнали формулу |Xn — L| < Э (и там нам довольно разъяснили, откуда она берется). У нас есть все части для подстановки. Получаем: $$|{2n-1 \over 4n+5} — {1\over 2}| < {1\over 1000}$$ 3)
Решаем левую часть пока без модуля:
$${2n-1 \over 4n+5} — {1\over 2} = {4n-2-4n-5 \over 2*(4n+5)} = {-7 \over 8n+10}$$
Это обычное вычитание дробей с разными знаменателями, но расписал подробнее, чтобы было видно, почему из числителя исчез n

4)
Итого имеем
$$| {-7 \over 8n+10}| < {1\over 1000}$$ Знак модуля позволяет нам избавиться в данном случае от минуса, потому что результатом работы модуля должно стать неотрицательное число, а n по условиям — это натуральное число. Значит решаем: $${7 \over 8n+10} < {1\over 1000}$$ умножим обе части на 1000 $${7000 \over 8n+10} < 1$$ $$6990 < 8n$$ 5)
Теперь остановимся и вспомним, что такое у нас n. По определению это номер элемента, начиная с которого все элементы лежат внутри интервала. Получается, если мы найдем n, то Хn и все следующие Х будут лежать внутри интервала, а от нас требуется узнать сколько всего элементов ВНЕ интервала. Т.е. нам нужен n-1.
Ну, например, если мы знаем, что все элементы, начиная с 10-го лежат внутри интервала, то значит вне интервала остается 9 первых элементов.
Значит в получившемся неравенстве надо найти крайний n, при котором неравенство будет выполняться. И затем найти искомое n-1
При этом помните, что n — это натуральное число.

 
 

…Чтобы соблюдать правила курса, я не буду доводить вычисления до конца. Но получить ответ, думаю, уже не должно составить труда.


***

Мой tg-канал Заметки стартапера